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两个角互余sin和cos的关系(tan与sin和cos的关系)

两个角互余sin和cos的关系(tan与sin和cos的关系)

三角学是数学的一个分支,研究三角形的边和角之间的关系。三角学在几何学中随处可见,因为每个直边形状都可以分解为三角形的集合。更进一步,三角学与其他数学分支有着惊人的复杂关系,特别是复数、无穷级数、对数和微积分。

三角学这个词是 16 世纪的拉丁文派生词,源自希腊语中的三角形 ( trigōnon ) 和度量 ( metron )。虽然该领域在公元前 3 世纪出现在希腊,但一些最重要的贡献(如正弦函数)在公元 5 世纪来自印度。由于古希腊早期的三角学著作已失传,不知道印度是否存在学者们独立或受希腊影响发展了三角学。根据 Victor Katz 在“数学史(第 3 版) ”(Pearson,2008 年)中的说法,三角学主要是根据希腊和印度天文学家的需要而发展起来的。

示例:帆船桅杆的高度

假设您需要知道帆船桅杆的高度,但无法爬上去进行测量。如果桅杆垂直于甲板,桅杆顶部与甲板相连,则桅杆、甲板和索具绳构成一个直角三角形。如果我们知道绳索离桅杆有多远,以及绳索与甲板相交的倾斜度,那么我们需要确定桅杆的高度就是三角函数。

对于这个演示,我们需要检查几种描述“倾斜”的方法。首先是 斜率,这是一个比率,用于比较一条线垂直增加多少个单位(它的 上升)与它水平增加多少个单位(它的 运行)。因此,斜率计算为上升除以运行。假设我们将索具点测量为距桅杆底部 30 英尺(9.1 米)(跑道)。通过将坡度乘以坡度,我们将得到上升 – 桅杆高度。不幸的是,我们不知道斜率。然而,我们可以找到索具绳的 角度 ,并用它来找到斜率 角度是完整圆的一部分,定义为具有 360 度。这很容易用量角器测量。让我们假设索具绳索和甲板之间的角度是一个圆的 71/360,或 71 度。

我们想要斜率,但我们只有角度。我们需要的是一种将两者联系起来的关系。这种关系被称为“切线 函数”,写作 tan(x)。角的切线给出了它的斜率。对于我们的演示,方程为:tan(71°) = 2.90。(我们稍后会解释我们是如何得到这个答案的。)

这意味着我们的索具绳索的斜率为 2.90。由于索具点距桅杆底部 30 英尺,因此桅杆必须为 2.90 × 30 英尺,即 87 英尺高。(它在公制系统中的工作原理相同:2.90 x 9.1 米 = 26.4 米。)

正弦、余弦和正切

根据已知的关于一个直角三角形的各侧的长度和角度,还有另外两个三角函数可能更加有用:即“正弦 函数”写成的sin(x),和“余弦 写为cos函数”( X)。在我们解释这些功能之前,需要一些额外的术语。接触的边和角被描述为 相邻。每边都有两个相邻的角。不接触的边和角被描述为 相反的。对于直角三角形,与直角相对的边称为 斜边 (源自希腊语,意为“在下方伸展”)。剩下的两个边叫做

通常我们对直角以外的角度感兴趣(如上例所示)。上面例子中我们所说的“上升”是指相对于感兴趣角的腿的长度;同样,“run”被视为相邻腿的长度。当应用于角度测量时,三个三角函数会产生边长比率的各种组合。

换句话说:

角A的切线=对边长除以邻边长角A的正弦=对边的长度除以斜边的长度角A的余弦=邻边长除以斜边长

从我们之前的船桅示例中,角度与其切线之间的关系可以从其图表中确定,如下所示。正弦和余弦图也包括在内。

值得一提的是,虽然超出了本文的范围,但这些函数通过称为恒等式的各种复杂方程相互关联,这些 方程始终为真。

每个三角函数还有一个逆函数,可用于根据边比求角度。sin(x)、cos(x) 和tan(x) 的倒数分别是arcsin(x)、arccos(x) 和arctan(x)。

直角三角形以外的形状

三角学不仅限于直角三角形。它可以用于所有三角形和所有具有直边的形状,它们被视为三角形的集合。对于任何三角形,在六个边和角的度量中,如果至少知道三个,通常可以确定其他三个。在三个已知边和角的六种配置中,只有其中两种配置不能用于确定三角形的所有内容:三个已知角 ( AAA ) 和与已知边相邻和相反的已知角 ( ASS )。未知边长和角度使用以下工具确定:

所述 正弦定理,它说,如果三个中的一个相对的角度/侧对两种措施是已知的,另一些则可能只从一个已知的确定:SIN(A)/ A = SIN(B)/ B = SIN( C)/c该 余弦定理,它说,一个不为人知的一面可以从两个已知的两侧,它们之间的夹角被发现。它本质上是勾股定理,对不是 90 度的角度有一个校正因子:c2 = a2 + b2 – 2ab∙cos(C)三角形中的所有角 相加等于 180 度的事实 :A + B + C = 180°三角学的历史

三角学遵循与代数相似的路径 :它是在古代中东发展起来的,通过贸易和移民移至希腊、印度、中世纪的阿拉伯,最后是欧洲(因此,殖民主义使其成为今天大多数人所学的版本)。由于在知识跨越文化边界后的几个世纪里,印度和阿拉伯在研究中继续表现出色,三角学发现的时间表变得复杂。例如, 直到 1670 年艾萨克牛顿的独立发现, Madhava 1400 年发现的无限正弦级数才为欧洲所知。由于这些复杂性,我们将专门关注正弦、余弦和正切的发现和通过。

从中东开始,公元前 7 世纪的新巴比伦尼亚学者确定了一种计算黄道带上固定恒星上升时间的技术。不同的恒星在黎明前升起大约需要 10 天,12 个黄道星座中的每一个都有三颗恒星;10 × 12 × 3 = 360。数字 360 与一年中的 365.24 天非常接近,但使用起来要方便得多。在其他古代文明的文本中发现了几乎相同的划分,例如 埃及 和 印度河流域。根据 Uta Merzbach 在“数学史”中的说法”(Wiley,2011),公元前 150 年左右,希腊学者亚历山大的 Hypsicles 对这种巴比伦技术的改编很可能是尼西亚喜帕恰斯(公元前 190 至 120 年)开始将圆圈切割成 360 度的趋势的灵感来源。使用的几何形状,依巴谷确定三角函数的值(不再使用的函数)为7.5度(48增量第 一个圆的)。亚历山大(AD 90至168)的托勒密,在他的AD 148“天文学大成”,通过确定对于0.5度(720增量三角函数值进一步推动喜帕恰斯的工作个 从0到180度的圆的)。

正弦函数的最古老记录来自 5 世纪印度 Aryabhata(476 至 550)的著作。“ Aryabhatiya ”(499)的第1.12节,不是以度数表示角度,而是包含一个直角二十四分之四正弦的顺序差异列表 (增量为3.75度)。这是未来几个世纪大部分三角学的起点。

下一批继承三角学的伟大学者来自伊斯兰教的黄金时代。阿拔斯哈里发的第七任哈里发、巴格达智慧之家的创建者马蒙(813 年至 833 年)赞助将托勒密的《天启》和阿雅巴塔的《阿雅巴提亚》翻译成阿拉伯语。不久之后, Al-Khwārizmī (780 至 850)在“Zīj al-Sindhind”(820)中产生了准确的正弦和余弦表。正是通过这项工作,三角学的知识首次传入欧洲。根据 Gerald Toomer 在“科学传记词典 7 ”中的说法,虽然最初的阿拉伯语版本已经丢失,但它由 Al-Andalus(现代西班牙)的al-Majriti在 1000 年左右编辑 ,他很可能在Adelard之前添加了切线表 。于 1126 年将其翻译成拉丁文。

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